【ご質問１について】
子の監護者指定・子の引渡し審判の現場では、家庭裁判所調査官という専門の職員が、当事者双方のこれまでの監護の状況や、同居親の現在の監護の実態を調査し、どれくらい監護実績があるかといったことを判断します。
この点、裁判所側において夫がお子様たちの監護を放棄しているといえる具体的な事情が見つからない限り、「お子様たちと同居していること」自体をもってお子様たちの監護をしていると判断してしまう傾向はあるように感じます。
もっとも、記載いただいている事情は夫がお子様たちの監護を放棄していると判断できる方向の事情の１つといえそうですので、子の監護者指定・子の引渡しの審判及び審判前の保全処分の申立てを行う場合にはしっかりと主張して、裁判所側にその実態を調査する必要性をしっかり感じてもらえるようにしましょう。

【ご質問２について】
裁判所は、誰が子の監護者にふさわしいかを判断するにあたっては、あらゆる要素や事情を総合的に考慮します。その中でも誰がどのくらいお子様たちのお世話をしたかという監護実績は特に重視されている印象ですが、別居後と別居前の時期の違いでは正直扱いに差はないように思われます。

【ご質問３について】
上記のとおり、裁判所は、誰が子の監護者にふさわしいかを判断するにあたっては、あらゆる要素や事情を総合的に考慮しますので、いただいた背景事情のみからでは何とも言い難いのが正直なところです。
ただし、子の監護者指定・子の引渡しの審判の申立てが後になればなるほど、その分だけ夫が単独で監護している期間が延び、監護実績の面で夫に有利ということになり得ます。
また、裁判所は「現状の監護態勢が整っているのであれば、それを強いて変更する必要はない」と判断する傾向にあります。子の監護者指定・子の引渡しの審判の申立てが後になるほど、やはりその分だけ夫に現在の監護態勢を整える時間を与えてしまうことになります。
したがって、まずはとにかく早期の子の監護者指定・子の引渡しの審判及び審判前の保全処分の申立てを行われることをお勧めします。

【ご質問４について】
弁護士をつけるメリットはいくつかございますが、手続を行ううえでは必須ではありません。したがって、前記のとおり、まずは子の監護者指定・子の引渡しの審判及び審判前の保全処分の申立てを行ってしまうことでよいと考えます。

【ご質問１について】
結論から申し上げますと、元夫が万が一訴訟を起こしたとして、「猫を元夫に引き渡せ」という内容の判決が出る可能性はほぼゼロなのではないかと思います。
離婚協議書にきちんとご相談者様と元夫の署名捺印があれば、猫はご相談者様が引き取ることで合意したということの証明になるためです。

なお、飼い主さんにとってはペットは大事な家族ではありますが、法律上はあくまで「物」として扱われます。
そのため、離婚協議書によって元夫が猫に月１回会うことができる旨が定められていたとしても、それが法律上の義務とまでいえるか＝「猫に会わせてくれないから猫を引渡せ」といえる根拠になるかはかなり微妙なところなのではないかと思います。
したがって、この点からも、元夫に猫を会わせにくくなることをそれほど不安視なさる必要はないのではないかと考えます。